N 个乒乓球中有一个和其他的质量不同，用天平最少几次一定能称出来？

答案是七次。

给的文献是靠谱的，只是没有给出具体操作，具体操作在文献的参考里。

The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234

我现在把具体操作写出来：

最重要的一步是给球编码。

• 我们取所有 7 位三进制数，共有3^7个编码，去掉所有位数都一样的情况，共有3^7-3个编码。
  
• 其中有一半，首次出现邻位不同的情况是 01, 12 或 20，这样的编码叫「正序」的，否则是「逆序」的。
  
• 正序码共(3^7-3)/2个。把一个正序码中的 1 换成 2，2 换成 0，0 换成 1，结果仍然是正序的。我们把可以通过这种方式相互转换的三个码作为一组。
  
• 现在把正序码一组一组的分配给乒乓球。因为此题中是 999 个球，正好分完 333 组，没有不完整的组。否则还要调整。
  
• 对每一个球，将其正序码中的 0 和 2 对换，得到相应的逆序码。因此每个球有两套编码。

接下来称球。

• 在第 k 次称球中，将正序码第 k 位为 0 的 333 个球放在天平左边，正序码第 k 位为 2 的 333 个放在右边，其他球放在旁边。
  
• 如果左边重，记 0。如果右边重，记 2。如果平衡，记 1。这样我们得到一个 7 位三进制码。
  
• 这个三进制码编号的球就是与众不同的球，如果该码是正序的，该球较重；如果逆序，该球较轻。

下面以 6 个球举例。取 3 位三进制正序码，共 12 个。

取其中两组 (010, 121, 202) 和 (012, 201, 120)，依次分配给六个球。

第一次称 010, 012 - 202, 201

第二次称 202, 201 - 121, 120

第三次称 010, 120 - 202, 012

结果举例：012 说明第四个球比较重，021 说明第五个球比较轻。

加一个 12 球的例子，见这个网页（英语）

补充：

几个新答案做出 2 次最多称 4 个，3 次最多称 13 个这样的归纳。

如果需要知道次品的轻重，n 次最多称 (3^n-3)/2 个球。

4 个球必须称 3 次才能确定找出坏球，并知道轻重。

我开头引用的文献严格证明了这是最优的，多于 (3^n-3)/2 无解。

如果不关心轻重，n 次最多的确可以称 (3^n-1)/2 个球，将多出的那个编号为 111...11 即可。

下载文献可能不方便，我把证明截图贴在下面。